另一种解法：

对比 $n^n$ 与 $(n+1)^{n+1}$ 发现：

$n^n \times (\frac{n+1}{n})^n \times (n+1)=(n+1)^{n+1}$ 枚举发现 $(\frac{n+1}{n})^n=e(n\to \infty)$

那么我们将 $100$ 以内的 $(\frac{n+1}{n})^n$ 打表记录在数组中，$100$ 以外的就拿 $e$ (至少精确到 $2.7182$ 这个精度才够)来代替 那么我们记录 $n^n$ 的第一位为 $t$ 从 $3$ 开始 判断这次从 $n \to n+1$ 会增长几位

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s;
int x=1;
int ss(double a){
	int cnt=0;
	while(a>=1){
		cnt++;
		a/=10;
	}
	return cnt-1;
}
double t=4;
double nt[200]={0,0,2.25,2.37037,2.44141,2.48832,2.52163,2.5465,2.56578,2.58117,2.59374,2.6042,2.61304,2.6206,2.62715,2.63288,2.63793,2.64241,2.64643,2.65003,2.6533,2.65626,2.65897,2.66145,2.66373,2.66584,2.66778,2.66959,2.67128,2.67285,2.67432,2.6757,2.67699,2.67821,2.67936,2.68044,2.68146,2.68244,2.68336,2.68423,2.68506,2.68586,2.68661,2.68733,2.68802,2.68868,2.68931,2.68992,2.6905,2.69105,2.69159,2.6921,2.6926,2.69307,2.69353,2.69398,2.6944,2.69481,2.69521,2.6956,2.69597,2.69633,2.69668,2.69702,2.69734,2.69766,2.69797,2.69827,2.69856,2.69884,2.69912,2.69938,2.69964,2.69989,2.70014,2.70038,2.70061,2.70084,2.70106,2.70127,2.70148,2.70169,2.70189,2.70209,2.70228,2.70246,2.70264,2.70282,2.703,2.70317,2.70333,2.7035,2.70365,2.70381,2.70396,2.70411,2.70426,2.7044,2.70454,2.70468,2.70481};
int main(){
	//while(2){
		x=1;
		t=4.0;
		cin>>s;
		if(s[0]=='1'&&s.size()==1){
			cout<<1;
			return 0;
			//continue;
		}
		for(double i=2;;i+=1){
			if(s.size()<=x){
				//cout<<t<<endl;
				cout<<i<<endl;
				break;
			}
			if(i<=90){
				x+=ss(t*nt[int(i)]*(i+1));
				t*=(nt[int(i)]*(i+1));
			}
			else{
				x+=ss(t*2.7185*(i+1));
				t*=(2.7185*(i+1));
			}
			
			while(t>=10){
				t/=10;
			}
		}
//	}
	return 0;
}